Die vorgegebenen Seiten und Winkel müssen zusammen ein Dreieck ergeben. Fertigen Sie zuerst eine Skizze an und prüfen Sie, welche Seiten und Winkel gegeben sind. Die passende Methode richtet sich nach den Angaben: Bei drei Seiten übertragen Sie die Längen mit Kreisbögen; bei einer Seite und zwei Winkeln bestimmen die sich schneidenden Winkelschenkel den dritten Eckpunkt.
Seiten und Winkel zuordnen
Die Buchstaben S und W stehen für Seite und Winkel: SSS bedeutet, dass drei Seiten bekannt sind. Bei SWS sind zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt. WSW bedeutet, dass eine Seite und die beiden Winkel an ihren Enden bekannt sind.
Eine beschriftete Skizze hilft, die Angaben richtig einzuordnen. Zeichnen Sie das Dreieck ABC, tragen Sie die bekannten Seiten und Winkel ein und markieren Sie, welcher Winkel zwischen zwei bekannten Seiten liegt und welcher einer Seite gegenüberliegt. Die Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein.
Prüfen Sie auch, ob die Angaben überhaupt ein Dreieck zulassen. Bei drei Seiten muss die Summe der beiden kürzeren Seiten größer sein als die längste Seite. Bei zwei gegebenen Winkeln muss ihre Summe kleiner als 180° sein, denn die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°.
Drei Seiten mit Kreisbögen
Sind die drei Seitenlängen bekannt, wählen Sie eine Seite als Ausgangsseite. Für ein Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm zeichnen Sie AB = c, also 5 cm. Zeichnen Sie dann einen Kreisbogen um A mit dem Radius b und einen um B mit dem Radius a. Ein Schnittpunkt der Bögen ist C. Verbinden Sie C mit A und B.
Die Bögen schneiden sich, weil 3 cm + 4 cm größer als 5 cm ist. Schneiden sie sich nicht, bilden die Längen kein Dreieck. Treffen sie sich genau an einem Punkt, entsteht eine gerade Linie und damit ebenfalls kein Dreieck.
Der zweite Schnittpunkt der Bögen liegt auf der anderen Seite der Grundseite und ergibt das spiegelbildliche Dreieck. Beide Dreiecke haben dieselben Seitenlängen und dieselbe Form.
Zwei Seiten und ihr Winkel
Bei SWS liegt der bekannte Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten. Zeichnen Sie zuerst eine der Seiten. Konstruieren Sie an einem ihrer Endpunkte den vorgegebenen Winkel und tragen Sie auf dem Winkelschenkel die Länge der zweiten Seite ab. Verbinden Sie den neuen Punkt mit dem anderen Ende der gezeichneten Seite. So erhalten Sie den dritten Eckpunkt.
Der Winkel muss tatsächlich zwischen den bekannten Seiten liegen. Liegt er einer der Seiten gegenüber, handelt es sich um einen anderen Fall, bei dem die Zahl möglicher Dreiecke abweichen kann.
Eine Seite und zwei Winkel
Bei WSW sind eine Seite und die beiden Winkel an ihren Endpunkten gegeben. Zeichnen Sie die Seite und konstruieren Sie an jedem Ende den passenden Winkel auf derselben Seite der gezeichneten Seite. Wo sich die beiden Winkelschenkel treffen, liegt der dritte Eckpunkt.
Sind die Winkel zum Beispiel 50° und 70°, beträgt der dritte Winkel 60°. Die beiden vorgegebenen Winkel müssen zusammen weniger als 180° ergeben, damit ein Dreieck entsteht.
Sind zwei Winkel und eine Seite gegeben, die nicht zwischen den Winkeln liegt, berechnen Sie zuerst den fehlenden Winkel: Ziehen Sie die beiden bekannten Winkel von 180° ab. Konstruieren Sie danach das Dreieck mit der gegebenen Seite und den angrenzenden Winkeln.
Zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel
Bei zwei Seiten und einem Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, ist entscheidend, welcher Seite der Winkel gegenüberliegt. Liegt der Winkel der längeren bekannten Seite gegenüber, ist das Dreieck bei passenden Angaben eindeutig bestimmt.
Liegt der Winkel dagegen der kürzeren Seite gegenüber, kann die Konstruktion je nach Lage des Kreisbogens keine, eine oder zwei Lösungen ergeben: Verfehlt der Bogen den passenden Winkelschenkel, gibt es keine Lösung; berührt er ihn, gibt es eine; schneidet er ihn an zwei Stellen, gibt es zwei. Prüfen Sie deshalb diesen Fall, bevor Sie eine einzige Lösung voraussetzen.
Drei Winkel reichen nicht aus
Drei Winkel bestimmen die Form eines Dreiecks. Bei gleichen Winkeln können die Seiten unterschiedlich lang und die Dreiecke unterschiedlich groß sein. Für eine eindeutige Konstruktion brauchen Sie zusätzlich mindestens eine Seitenlänge.
Mit Geodreieck und Zirkel arbeiten
Für eine übliche Schulaufgabe zeichnen Sie eine gegebene Länge mit dem Lineal und übertragen sie mit dem Zirkel. Einen angegebenen Winkel tragen Sie mit dem Geodreieck ab, sofern die Aufgabe dieses Werkzeug erlaubt. Bei einer strengen Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal gelten andere Vorgaben: Ein beliebiger Winkel wird dann nicht einfach mit dem Geodreieck gemessen.
